4.4. Уравнения параболического типа
Для тонкого однородного изолированного стержня длиной
,l
ось
которого совпадает с осью
,Ox
температура
,u u x t
его сечения с
абсциссой
x
в момент времени
t
при отсутствии источников тепла
удовлетворяет уравнению теплопроводности
2
t xx
u a u
, где
a
–
постоянная. Определить распределение температуры для любого момента
времени
,t
если известно начальное распределение температуры
, 0 :ux
2
3
, 0 ,
32
1. 16 , 0 3, 0, ,0 0, 3, 0.
3
3 , 3,
2
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
, 0 1,
2. , 0 2, 0, ,0 0, 2, 0.
2 ,1 2,
t xx
xx
u u x t u x u t u t
xx
2
25
,0 ,
52
3. 25 , 0 5, 0, ,0 , 0, 5, 0.
5
5 , 5,
2
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
,0 2,
4. 16 , 0 4, 0, ,0 0, 4, 0.
2
4 ,2 4,
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
25
,0 ,
52
5. 4 , 0 5, 0, ,0 0, 5, 0.
5
5 , 5,
2
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
23
,0 ,
32
6. , 0 3, 0, ,0 0, 3, 0.
3
3 , 3,
2
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
29
,0 ,
92
7. 25 , 0 9, 0, ,0 0, 9, 0.
9
9 , 9,
2
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
,0 1,
8. 9 , 0 2, 0, ,0 0, 2, 0.
2 ,1 2,
t xx
xx
u u x t u x u t u t
xx
2
,0 2
9. 4 ,0 4, 0, ,0 , 0, 4, 0.
2
4 ,2 4
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
,0 4,
10. 16 , 0 8, 0, ,0 0, 8, 0.
4
8 ,4 8,
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
3
,0 ,
32
11. 36 , 0 3, 0, ,0 0, 3, 0.
3
3 , 3,
2
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
,0 4,
12. 9 , 0 8, 0, ,0 0, 8, 0.
4
8 ,4 8,
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
,0 3,
13. 4 , 0 6, 0, ,0 0, 6, 0.
3
6 ,3 6,
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
2
,0 1,
14. 16 , 0 2, 0, ,0 0, 2, 0.
2 ,1 2,
t xx
xx
u u x t u x u t u t
xx
2
,0 6,
15. , 0 12, 0, ,0 0, 12, 0.
6
12 ,6 12,
t xx
x
x
u u x t u x u t u t
xx
